Senin, 12 Maret 2012

Relasi Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas Langsung ke: navigasi, cari Relasi, dalam matematika, adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis. Daftar isi [sembunyikan] * 1 Definisi * 2 Relasi dan fungsi proposisi * 3 Relasi A×A o 3.1 Relasi Refleksif o 3.2 Relasi Irefleksif o 3.3 Relasi Simetrik o 3.4 Relasi Anti-simetrik o 3.5 Relasi Transitif * 4 Relasi khusus o 4.1 Relasi Ekivalen o 4.2 Orde Parsial * 5 Lihat pula [sunting] Definisi Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah subhimpunan dari A×B. R_{AB} \subseteq A \times B [sunting] Relasi dan fungsi proposisi Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut. Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga, pisang } dengan himpunan W = { hijau, kuning, orange}. Suatu relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi proposisi w(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}, yang tidak lain adalah relasi R. [sunting] Relasi A×A Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut: * Refleksif * Irefleksif * Simetrik * Anti-simetrik * Transitif Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A. [sunting] Relasi Refleksif Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya sendiri. \forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R atau \forall_{a \in A}\quad a R a Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri. [sunting] Relasi Irefleksif Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri. \forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R atau \forall_{a \in A}\quad \lnot(a R a) Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri. Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif. [sunting] Relasi Simetrik Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik. \forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R atau \forall_{a, b \in A}\quad a R b \rightarrow b R a Sebuah relasi “x+y genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga. [sunting] Relasi Anti-simetrik Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik. \forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \notin R) atau \forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow (a R b \rightarrow \lnot (b R a)) Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi. \forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \wedge (b,a) \in R \rightarrow a=b atau \forall_{a, b \in A}\quad a R b \wedge b R a \rightarrow a=b Relasi \leq bersifat anti-simetrik, karena 5 \leq 6 mengakibatkan \lnot (6 \leq 5). Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku p \leq q dan q \leq p berarti p = q. [sunting] Relasi Transitif Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung. (a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R atau \forall_{a, b, c \in A} {a R b \wedge b R c \rightarrow a R c} Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7. [sunting] Relasi khusus [sunting] Relasi Ekivalen Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat: * Refleksif * Simetrik, dan * Transitif Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan. [sunting] Orde Parsial Orde parsial adalah relasi yang bersifat: * Refleksif * Anti-simetrik, dan * Transitif

Tidak ada komentar:

Posting Komentar